MATERIALES MAGNETICOS

MATERIALES MAGNÉTICOS

EN ALGUNOS materiales, a los que llamaremos materiales magnéticos, se observa que sus átomos o iones se comportan como si fuesen pequeños imanes que interactúan entre sí.²⁴ En estos casos se dice que los átomos tienen un momento magnético diferente de cero, el cual se caracteriza por su magnitud y la dirección en la que está orientado. En lo sucesivo, a estos pequeños imanes los denominaremos espines magnéticos o simplemente espines.
Pero no todos estos materiales se comportan de la misma manera, debido a que sus propiedades magnéticas dependen de dos factores. Éstos son: la magnitud de sus espines individuales, y la orientación relativa de éstos: Si los espines no tuviesen ninguna interacción, ya sea entre ellos o con sus alrededores, entonces cada uno de ellos podría apuntar en cualquier dirección, puesto que no tendría preferencia alguna. Sin embargo, éste no es en general el caso: la orientación que tomará cada uno de ellos dependerá del balance de varios factores que pueden resumirse en factores internos y externos.
Como su nombre lo indica, los factores internos dependen de las características intrínsecas de cada material, esto es, del tipo de interacciones entre los espines. Por otro lado, los factores externos son los que están relacionados con el ambiente, es decir, que dependen de la interacción del sistema con sus alrededores. Como ejemplo de factores externos tenemos la posible existencia de un campo magnético producido por una fuente ajena al material, y por otro lado, de manera muy importante, la temperatura ambiental, ya que el medio ambiente funciona como una fuente de calor y agitación para el material.
Un ejemplo típico de un material magnético, que todos conocemos, es el de los imanes permanentes. En este caso, una gran parte de los espines está alineada permanentemente en la misma dirección relativa. Y aunque el campo producido por cada uno estos espines es muy pequeño, al sumarse sus contribuciones individuales se produce un campo magnético que puede observarse macroscópicamente.
En el otro extremo tenemos los materiales paramagnéticos. En estos materiales los espines apuntan en direcciones totalmente azarosas, por lo que las contribuciones de los espines individuales tienden a anularse. Como consecuencia, a nivel macroscópico no se observa un campo magnético resultante. Sin embargo, existen localmente pequeños campos magnéticos producidos por los espines, y un pequeño "imán de prueba" sentirá las variaciones de este campo a lo largo del material.
INTERACCIONES ENTRE LOS ESPINES
Las interacciones entre los espines son originadas por mecanismos diversos, algunos de los cuales no son del todo conocidos. Sin embargo, para nuestra discusión, únicamente es pertinente conocer el efecto de dichas interacciones, sin importar las causas que las originan. Lo que sí es necesario señalar es que debido a un principio muy general de la naturaleza, la orientación final de los espines será aquella en donde la energía libre del sistema sea mínima. Para explicar a qué nos referimos, haremos una analogía entre un par de espines microscópicos y dos imanes permanentes. Esta analogía nos permitirá hacernos una idea acerca de lo que sucede a nivel molecular.
Si tomamos dos imanes permanentes, observaremos que los extremos de uno y otro se atraen o se repelen, debido a que cada uno de ellos tiene dos tipos de polos magnéticos. Como consecuencia, si los ponemos en contacto veremos que tienden a alinearse de una cierta manera que resulta "natural" para ellos. Decimos entonces que los imanes han tomado su posición de mínima energía, o de equilibrio. Si ahora tratamos de girar uno de ellos 180°, veremos que necesitamos hacer un trabajo; esto es, dado que esta nueva posición es de energía mayor que la anterior, necesitaremos suministrar energía para lograr y mantener esta nueva posición, ya que en el momento en que dejemos de administrar esta energía extra, o sea, en cuanto dejemos de hacer fuerza para detener a los imanes y les permitamos girar libremente, éstos cambiarán de dirección y se alinearán de nueva cuenta en su antigua dirección, esto es, regresarán a su estado de mínima energía.
Algo similar sucede a nivel microscópico con los materiales a que nos hemos referido, únicamente que en vez de tener un par de imanes, tendremos un número del orden de 10²³ pequeños imanes interactuando entre sí. Entonces, cada par de espines tratará localmente de orientarse de la forma más natural posible, es decir, de manera que la energía de ese par sea mínima. Como resultado de este proceso tenemos una gran diversidad de comportamientos en los diferentes materiales magnéticos.²⁵
PROPIEDADES DE LOS
MATERIALES MAGNÉTICOS
Los materiales se clasifican de la siguiente manera de acuerdo con sus propiedades magnéticas (véase la figura 42):
1) Diamagnéticos. Son aquellos materiales en los que sus átomos no tienen momento magnético resultante; debido a esto no pueden interactuar magnéticamente con otros materiales.
2) Paramagnéticos. Son materiales en los cuales los átomos sí tienen momento magnético. Sin embargo, en ausencia de un campo magnético externo los espines individuales apuntan en direcciones diversas, de manera que sus contribuciones individuales se anulan; como consecuencia, no se observa un campo magnético resultante. Si se aplica un campo externo, entonces los espines se orientan ligeramente, dando como resultado una imantación en la dirección del campo aplicado. Todos los materiales magnéticos se comportan como paramagnetos cuando se encuentran a una temperatura alta;²⁶ se dice entonces que se encuentran en su fase paramagnética. Este comportamiento se debe a que a temperaturas altas los factores externos dominan sobre los internos, por lo cual el tipo de interacciones entre los espines pierde importancia.

Figura 42. Diferentes tipos de materiales mágneticos. a) Paramagneto. Los espines apuntan en direcciónes al azar, las cuales varían al paso del tiempo. b) Ferromagnetos. Los espines tienen tendencia a alinearse en una misma dirección. c) antiferromagnetos. Tendencia de los espines a alinearse antiparalelamente a sus vecinos. d) Vidrios de espín. Los espines apuntan en direcciones aparentemente al azar, pero fijas al paso del tiempo. Para poder diferenciar entre los casos a) y b) necesitamos observar ambos sistemas durante un largo tiempo.

3) Ferromagnéticos. En estos materiales las interacciones entre los espines son tales, que éstos tienden a alinearse paralelamente. Debido a esto, a temperaturas bajas, esto es, cuando los efectos internos son mucho más importantes que los externos, hay en estos materiales una orientación única con la cual se reduce a su valor mínimo la energía del material. Esta orientación corresponde a todos los espines que apuntan exactamente en la misma dirección.
4) Antiferromagnéticos. En estos materiales, las interacciones entre los espines tienden a alinearlos antiparalelamente. Como resultado, a bajas temperaturas y en ausencia de un campo magnético externo, habrá una configuración única de mínima energía. En este estado del sistema, todos los espines apuntan alternadamente hacia arriba y hacia abajo, y el material no exhibe magnetismo a nivel macroscópico.
5) Vidrios de espín. En este tipo de materiales encontramos que algunos pares de espines van a reducir su energía si se alinean paralelamente, mientras que otros lo van a hacer cuando sus posiciones sean antiparalelas. Dado que cada espín interactúa con muchos otros espines, algunos de "sus compañeros" le pueden "pedir" que se alinee en una dirección y otros en otra. Una consecuencia será que no todos los espines se puedan poner de acuerdo y que a temperaturas bajas no habrá una, sino muchas configuraciones diferentes que correspondan a estados de energía mínima. Para cada una de estas configuraciones tenemos que no todos los pares de espines contribuyen a reducir la energía libre; entonces se dice que los pares que no contribuyen se encuentran frustrados. Por consiguiente toda configuración de mínima energía contendrá muchos pares frustrados, diferentes en cada caso, ya que no será posible hacer que todos ellos contribuyan simultáneamente a reducir la energía del sistema.
Durante la década pasada y principios de ésta, los vidrios de espín atrajeron el interés de muchos científicos debido a que presentan propiedades para las cuales no se encontraba explicación.²⁷ Actualmente se entiende bastante bien su comportamiento, y se sabe que la frustración desempeña un papel central en éste. Todo el trabajo de investigación realizado en este campo nos ha permitido entender otros problemas análogos, que tienen en común la presencia de frustración; éstos son los problemas complejos.
Los vidrios espín serán el foco de nuestra atención debido a la propiedad de que su energía libre posee muchos mínimos. Por tanto, más adelante volveremos a tocar este tema para explicar con mayor detalle sus propiedades.
MODELO MATEMÁTICO DE LOS SISTEMAS MAGNÉTICOS
Para poder predecir las propiedades de los materiales magnéticos es necesario, primero, hacer un modelo o idealización que describa dichos materiales de una manera simple pero sin dejar de lado las características esenciales del sistema, y segundo, hacer los cálculos pertinentes para ese modelo dentro del marco de la mecánica estadística. Una vez que se han seguido estos dos puntos, se confrontan los resultados de los cálculos matemáticos con los resultados obtenidos experimentalmente. Esta comparación nos permitirá evaluar si el modelo logró captar las características fundamentales del sistema a estudiar, y nos aportará nuevos elementos que permitirán confirmar, modificar o desechar el modelo.
Existen varios modelos para describir los materiales magnéticos. Nosotros utilizaremos el llamado modelo de Ising, según el cual los espines pueden orientarse únicamente a lo largo de dos direcciones: hacia arriba o hacia abajo. Para explicar la idea de este modelo, dividiremos mentalmente el material que queremos describir en bloques pequeños, de manera que en cada bloque se encuentre localizado un espín. Matemáticamente, denotaremos al espín que se encuentra en el lugar i-ésimo por medio de la cantidad S_i, la cual podrá tornar dos valores: +1 si el espín apunta hacia arriba, y -1 si apunta hacia abajo. Llamaremos configuración a cada uno de los posibles arreglos o combinaciones de estados de los espines (véase la figura 43).
La función que representa la energía total del sistema se denomina hamiltoniana y está dada por la ecuación:

H= - S J ij S i S j - h S S i ,
( ij )	i	(1)

en donde j es otro índice mudo, esto es, toma (de uno por uno) todos los valores entre 1 y N; Jij representa la magnitud de la interacción existente entre los espines i y j. Por otro lado, el símbolo S , presente en el primero y segundo términos de la ecuación (1), significa que debemos sumar, sobre todos los pares de espines y sobre todos los espines respectivamente.

Figura 43. Este diagrama ilustra lo que sería el modelo de Ising para una pequeña muestra hipotética del material magnético. El valor de i indica el número de cuadro dentro del material, y el valor de S₁ nos dice la orientación que tiene el espín localizado en dicho lugar.

La ecuación que acabamos de escribir nos dice lo siguiente: la energía total del material está dada por la suma de las energías de interacción de cada uno de los pares de espines (i, j), más la energía de acoplamiento del sistema con el campo magnético externo h. Es decir, si conocemos el valor de las interacciones {Jij}, el uso de esta ecuación nos permitirá calcular la energía total que corresponde a cualquier configuración particular.
Debe notarse que el valor de las interacciones entre los espines es fijo y depende del material; por otro lado, de acuerdo con el principio de mínima energía, los espines tienden a orientarse de manera que la energía total del sistema, representada por H, sea mínima. Si pudiéramos dibujar el valor de H para cada uno de los estados posibles, tendríamos una gráfica en N dimensiones; en ella podríamos observar que para algunos conjuntos de valores de {Si}, H toma valores muy altos, lo cual nos indica que dichas configuraciones serán muy poco probables debido a que tienen energías altas. De la misma manera, de acuerdo con este principio, las configuraciones o estados para los cuales H toma su valor mínimo son los estados más naturales para el sistema. La figura 44 muestra de manera esquemática el valor de H para diferentes configuraciones.

Figura 44. A partir de cualquier "estado inicial", el sistema evolucionará hacia estados de energía cada vez menor.

El modelo de Ising puede ser utilizado, con mayor o menor éxito, para describir cualquier tipo de material magnético, siempre y cuando el conjunto de interacciones {Jij} tomen los valores adecuados. Para facilitar esta explicación, vamos a considerar el caso en que no hay ningún campo magnético externo; esto es, tomaremos h = 0.
Si suponemos que la interacción Jij toma un valor J, mayor que cero, cuando los espines localizados en los lugares i y j son contiguos, y vale cero en cualquier otro caso, entonces podemos observar lo siguiente: la configuración {Si} para la cual H toma su mínimo valor posible, se da cuando todos los espines apuntan a lo largo de la misma dirección; esto es, cuando todos valen +1, o equivalentemente, si todos valen -1 (véase la ecuación (1). Si el material se encuentra en este estado, entonces todos y cada uno de los pares contribuyen a reducir el valor de la energía.
Ahora supongamos que Jij toma el valor -J, (con J>0), si los lugares i y j son vecinos, y el valor cero en cualquier otro caso. En esta ocasión, tenemos que el valor mínimo que H puede tomar corresponde al caso en que los espines apuntan en direcciones alternadas. Esto se representa matemáticamente con Si = +1, Sj = -1, de manera que la contribución de cada par( i, j), dada por el producto Jij X Si X Sj, tiene un valor mayor que cero, con lo cual dicho par contribuirá a la reducción de la energía.
En los dos casos anteriores, si queremos construir mentalmente la configuración de mínima energía, entonces tenemos que una vez escogida la dirección de uno de los espines, la dirección del resto quedará determinada.
Así, hemos visto que la ecuación (1) describe materiales ferromagnéticos o antiferromagnéticos cuando las interacciones Jij tienen un valor mayor, o menor que cero, respectivamente. Pero, ¿qué sucede si algunas interacciones tienen valores positivos y otras negativos?
Como mencionamos anteriormente, existen algunos materiales en los cuales no es posible que todos los pares de espines contribuyan simultáneamente a reducir su energía. Este es el caso de los vidrios de espín, los cuales pueden ser descritos con la ecuación (1) si algunas interacciones Jij tienen valores positivos y otras valores negativos. Esta mezcla matemática de interacciones positivas y negativas refleja el hecho de que a algunos pares les gusta alinearse paralelamente y a otros antiparalelamente. En estos materiales no podemos construir mentalmente una configuración en la cual todos los pares de espines contribuyan a reducir la energía, ya que muy pronto llegaremos a contradicciones (véase la figura 45). Por esto no habrá una configuración única, de energía mínima. La figura 45(a) muestra una de las seis posibles configuraciones de mínima energía para un sistema hipotético, compuesto de tan solo tres espines. En el caso de un material magnético con frustración, el número de estados de energía mínima aumenta, muy rápidamente, en función del número de espines (para sistemas con frustración). ¡Y los materiales reales tienen del orden de 10²³ espines!
Pero si hay muchas configuraciones de energía mínima, ¿cuál de ellas será la que "escoja" el sistema? ¿Hacia cuál de ellas evolucionará? En las secciones subsecuentes trataremos de dar respuesta a esta pregunta.
UN CAMINANTE EN
UNA REGIÓN MONTAÑOSA
Supongamos que un caminante, un poco corto de vista, con muy mala memoria y muy flojo, sale a dar un paseo por el campo en una región montañosa. Sabemos que el esfuerzo que esta persona necesitará hacer será mayor si asciende que si desciende. De manera que si caminara sin intención de llegar a algún lugar en particular, esto es, de una manera un tanto azarosa, y quisiera hacer el menor esfuerzo posible, optaría siempre por descender. También supondremos que la única fuente de energía de este singular caminante es su energía potencial (= masa x gravedad x altura), y que además arrastra tanto los pies que pierde toda su energía conforme va descendiendo. Si en un momento dado quisiéramos dar una descripción de la posición del caminante, podríamos proporcionar la altitud del lugar en donde se encuentra como función de la latitud y la longitud de aquel lugar.

Figura 45. Este esquema nos muestra dos de los 2³ =8 posibles estados en un pequeño sistema hipotético compuesto por tres espines. Dos de los pares existentes interactúan ferromagnéticamente (+J) y el tercero, antiferromagnéticamente (-J). a) Nos muestra una de las seis configuraciones de mínima energía, con H = - J (podemos observar que únicamente un par está frustrado). b) Nos muestra una de las configuraciones de energía mayor, con H = 3j; en este caso los tres pares de espines se encuentran " en desacuerdo"..

Esta persona podría caminar y caminar, y siempre hacia abajo, llegando a regiones cada vez más profundas. Por ejemplo, podría ir caminando dentro de un cañón que tuviese una salida en alguna dirección, y probablemente esa salida lo llevaría a regiones aún más profundas. Otras veces podría escoger entre dos o más direcciones igualmente descendentes, ya que podría haber valles dentro de los valles, pero tarde o temprano llegaría a un lugar profundo rodeado de regiones todas más altas que éste, esto es, se encontraría en el fondo de un valle. El lugar final donde el caminante terminaría su recorrido, o sea el fondo de un valle particular, dependería de manera importante, aunque no exclusivamente, del lugar donde el explorador iniciara su caminata (Figura 46), ya que en ocasiones existen varios caminos igualmente descendentes que lo podrían conducir a diferentes valles.
Con respecto a la geografía del lugar, si el sujeto no conociera la región ni llevase mapas, y se encontrara en el fondo de un valle, no tendría manera de saber si ese valle es el lugar más profundo del área, o si más allá de las montañas existen lugares aún más profundos que éste. De manera que para él no tendría sentido hablar de la profundidad o altura absoluta del lugar donde se encuentra. Tampoco tendría forma de saber cuántas cimas de montañas existen, ni cuántos valles, ni cuántos cañones, ni de qué manera se encuentran éstos distribuidos. Sólo tendría un conocimiento local de la región, ya que lo único que el caminador puede saber es que está en un lugar profundo rodeado de montañas más altas. Además debemos tener presente que el tipo tiene muy mala memoria, por lo que es incapaz de recordar la geografía de los lugares previamente recorridos, y que su vista no le permite ver a lo lejos.
Una vez que el caminante se encontraba en el punto más bajo de un valle, tendría que resignarse a permanecer indefinidamente en dicho lugar. Tal vez invirtiendo un poquito de energía sería capaz de subir una pequeña colina para después encontrarse con un valle mucho más profundo. Sin embargo esto él no lo sabe, por lo que quedaría atrapado a menos que sucediese alguna de las posibilidades siguientes: i) que tuviese la energía física necesaria para hacer un esfuerzo mayor (la cual sería mayor cuanto más altas fuesen las montañas que rodean a este lugar), o ii) que fuese rescatado y llevado a otra región, por ejemplo, por un helicóptero. Pero dado que esta persona no está dispuesta a hacer ni el más mínimo esfuerzo, pensamos que la segunda posibilidad sería la única factible.

Figura 46. El caminante llegará, tarde o temprano, a un lugar profundo rodeado de regiones más altas.

Ahora podemos volver a pensar en la función hamiltoniana y hacer una analogía entre la geografía de una región montañosa y el espacio de configuraciones de un sistema físico con frustración, ya que la hamiltoniana es también una función que puede tomar valores altos o bajos, para diferentes configuraciones. Esta analogía nos será útil para dar una visión general de las ideas presentes.
EL ESPACIO DE ESTADOS
Como dijimos anteriormente, dado un sistema magnético, su hamiltoniano nos da el valor de la energía para cada configuración posible. Esto es, dada una configuración o arreglo de espines es posible, en principio, calcular el valor de la energía correspondiente a dicha configuración.²⁸ De manera que si tuviésemos una paciencia infinita, y una vida aún más larga que nuestra paciencia, podríamos calcular la energía para cada uno de los estados posibles del sistema. (Este número está dado por 2ⁿ donde n es el número de espines en el material, el cual es a su vez ¡del orden de 10²³!) En este caso, tenemos un espacio de N dimensiones, ya que podemos variar el estado de N espines, y no dos variables como en el caso del caminante en que se pueden variar su latitud y longitud únicamente. Suponiendo que pudiésemos hacer dibujos N-dimensionales, con los resultados obtenidos podríamos graficar el valor de la energía, lo que correspondería a la altura de las montañas del caso anterior, como función de cada uno de los estados posibles del sistema. Para completar la analogía, diríamos que el caminante parado en un lugar de la región montañosa correspondería a que el sistema magnético se encontrase en el estado caracterizado por el valor de todos sus espines en ese momento. De esta manera, un paso del caminante equivaldrá a invertir la dirección en que apunta alguno de los espines del material: si el paso es ascendente, en horizontal, o hacia abajo, esto corresponderá al aumento, mantenimiento o disminución de la energía, para este nuevo estado.
Si colocamos al caminante en un lugar arbitrario de la región y le pedimos que vague a su antojo, con la restricción de que haga el menor esfuerzo posible, muy probablemente éste terminará en el fondo del valle dentro de cuya cuenca se encontraba inicialmente. Por lo cual, para este efecto es completamente irrelevante si existen otros valles más profundos más allá de las montañas. De la misma manera, si tenemos un vidrio de espín en un estado inicial arbitrario, cuya energía no es mínima, entonces cada espín, bajo la presión de sus vecinos, variará su orientación de manera que su estado concuerde con la petición de un número cada vez mayor de vecinos. Así, el sistema evolucionará de manera natural, hasta llegar a un estado que tenga energía mínima, y en el cual quedará atrapado. La geografía del lugar que hemos descrito, junto con el hecho de que para ir de un estado a otro es necesario pasar por los estados intermedios, explican la gran dependencia de la historia que tienen tanto el caminante como el vidrio de espín, (relación entre el estado inicial y el final). Esto se ilustra figura 47.
El continuo descender del caminante, o equivalentemente, el aumento en el número de pares de espines que concuerdan, corresponderá a la evolución natural del sistema hasta estados de energía cada vez menor, y por tanto, cada vez más probables. Decimos entonces que cada uno de los mínimos actúa como un atractor; la importancia de un mínimo será mayor mientras mas grande sea su cuenca de atracción. Así, veremos que un valle muy grande tiene mayor probabilidad de ser visitado que una pequeña hondonada en el camino. A los materiales ferromagnéticos y antiferromagnéticos les corresponde una geografía en la cual hay únicamente un valle o una cuenca de atracción, por lo que no resulta difícil predecir dónde terminara el paseo. En el primer caso, este mínimo corresponde a un estado con todos los espines paralelos, y en el segundo, antiparalelos. Por el contrario, en el caso de los vidrios de espín tenemos que debido a la presencia de frustración, existe un número muy grande de montañas y valles.

Figura 47. El sistema permanecerá en un estado de energía mínima (localmente), independientemente de que existan estados de energía aún menor, si para llegar a éstos necesita aumentar su energía.

Desafortunadamente, la imagen de una persona caminando en una región montañosa trae consigo la idea de lugar en el espacio real, lo cual puede prestarse a confusiones. Debemos recordar que en el caso del material magnético, su hamiltoniano nos da la energía como función del estado del sistema, y no como función de la ubicación de los espines, por lo que dos estados serán cercanos si la mayor parte de los valores de las variables Si coinciden en ambos. Todo esto, sin importar el lugar en que se localizan dichos espines.
Otra característica de nuestro sistema magnético consiste en que su estado total, descrito de acuerdo con el hamiltoniano, es función del estado de todos los espines. Por otro lado, dado que el número de espines en el material es muy grande (del orden de 10²³, si en un momento dado se removieran algunos de ellos, sin perturbar al material de alguna otra manera, su estado general no se afectaría de manera notable. Esta característica no tiene paralelo en nuestra descripción geográfica debido a la diferencia de la dimensión de ambos sistemas.
La ecuación (1) nos permite obtener predicciones de algunas propiedades físicas del sistema por ella descrito; para lo cual, afortunadamente, no es necesario llevar a cabo el trabajo de obtener el valor de la energía para cada uno de los estados posibles a fin de "reconstruir la geografía" y después encontrar los estados de energía mínima. Esto se debe a que contamos, por un lado, con las herramientas de la mecánica estadística,²⁹ la cual estudia las características globales de un sistema a partir de las características individuales de sus componentes, y por otro lado, con la simulación numérica (simulación de una situación utilizando la computadora).
http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/ciencia/volumen2/ciencia3/088/html/sec_11.html